El pH y yo

Nota informativa:  Este blog es parte de un trabajo de fin de grado en Química en la Universidad de Córdoba que estoy teniendo el placer de dirigir.  Todo está llevado por la estudiante que está preparando este TFG y está haciendo un magnífico trabajo.  

Tenemos que ver como crecen las interacciones en redes sociales y en visitas al blog para sacar estadísticas.  Así que te voy a pedir un favor, si te gusta la entrada esta en particular y el precioso blog en general, cita el blog en tus redes sociales.  Muchas gracias.

Hola,

esta entrada es una entrada terapeutica.  Es una entrada que tiene por objetivo contar mi trauma y reconciliación con el concepto de pH.  Un periplo personal que comenzó hace mucho alrededor de un problema que me rondó la cabeza por mucho tiempo.  Afortunadamente, conseguí vencer a los dragones y ahora tengo el placer de contar este duro episodio de mi vida en este bonito blog.

Para refrescar el concepto de pH nada mejor que la bonita entrada de mi compi titulada simple y llanamente:

pH

¿Nos disponemos a conocer al dragón y a hacernos amigos de él?

Dracarys

tenor

El sastre y el logaritmo

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Sí, lo sé, es raro empezar una entrada de química hablando de sastres y de logaritmos pero es que mi problema con el pH, de verdad de la buena, está relacionada con eso.

Lo que tenemos en la imagen de arriba es la gráfica de la función logaritmo de x:

log(x)

Pero antes de entrar en faena hablemos un poco sobre qué es eso de un logaritmo.

Un logaritmo se escribe generalmente así:

log_a(b)

Aunque pueda parecer aterrador en un primer vistazo, un logaritmo es una función muy buena gente.  Tiene un montón de propiedades útiles y una definición de lo más sencillo. La definición lo que nos dice es cómo tenemos que leer el logaritmo.  Así si uno lee:

log_a(b), eso es un número, es decir que log_a(b)=c.  ¿Quién es esa c?

La respuesta es muy simple, c es el número al que hay que elevar a, llamada la base del logaritmo, para obtener como resultado b, denominado el argumento del logaritmo.

¿Sientes que te va a dar una lipotimia?  Espera que tampoco es para tanto.  Pongamos un ejemplo.

A ver, cuánto es:

  • log_{10}(10) — La pregunta es a qué número hemos de elevar la base 10 para obtener 10.  La respuesta es un bonito 1.  Así que log_10(10)=1.
  • log_{10}(100) — Esta ya tiene que estar chupada.  ¿A qué número hay que elevar la base 10 para que nos de el argumento 100?  Efectivamente, log_{10}(100)=2
  • Una cosa un poco más exótica:  log_3(27) — Toma aire y va, ¿cuánto vale eso?  A ver… es el número al que tenemos que elevar la base, 3, para obtener el valor del argumento, 27.  Difícil será que ese logaritmo, en base 3 ahora en este caso, no valga 3.  Es decir, log_3(27)=3.

Pues ale, ya tenemos controlado lo que significa un logaritmo.  Además hemos intuido que los logaritmos siempre tienen que tener una base de referencia.  Pero entonces, ¿qué significa log(x) a secas?

La respuesta es que cuando solo se escribe log sin indicar una base nos estamos refiriendo a la base 10. Entonces, log(x) nos dirá a qué número hemos de elevar nuestra base 10 para obtener el argumento x.

Y eso nos da, para los distintos valores de la x, la gráfica que hemos puesto al principio:

01
Gráfica de la función log(x)

 

Podemos observar un par de cosas al respecto.  La primera es que el logaritmo es una función de crecimiento lento.  Es decir, aunque los valores de la x crezcan mucho el valor de log(x) crecen con mucha menos ansia.   Si no lo crees, mira a ver cuanto es el log(x)  para los valores de la x=10, 100, 1000, 10000,…   Efectivamente, los logaritmos de esos números en base 10 nos darán 1, 2, 3, 4,… (es el número de ceros en este caso).  El logaritmo es de los que llevan eso de, — sin prisa pero sin pausa –, hasta sus últimas consecuencias.

Y dos puntos que son importantes es que la función logaritmo siempre crece, siempre corta al eje de la x en el valor 1 (eso ha de ser evidente porque — ¿cuánto vale log(1)?).

Bueno, pero no he venido a hablar solo del logaritmo, del que podríamos rellenar una entrada completa y un blog completo. Si queréis seguir amando a esta función buscad información con vuestros profes o en vuestros rincones de internet favoritos.  Os aseguro que quedan muchas sorpresas por encontrar del logaritmo.

Ahora tomemos el papel de sastres.  Sí, vamos a intentar recuperar la función logaritmo indicada en la gráfica anterior con retales de otras funciones.  A ver qué tal se da.

Elijamos un punto al partir del cual ir montando la función.  Lo más lógico es empezar en el punto x=1.  ¿Por qué? porque en ese punto sabemos que el logaritmo solo puede valer 0.  (¿Lo sabemos verdad? Piensa un poco en la definición de logaritmo y saldrás de dudas.)

Por tanto, justo en x=1 la función logaritmo log(x) es igualita a la función 0.  Sí, en x=1 y solo en x=1 la función logaritmo tiene toda la cara de la función 0.  Veámoslo:

02
Función log(x) en rojo. Función 0 en amarillo.  Solo son iguales en x=1. Luego son muy, muy diferentes.

Pero claro, no nos podemos dar por satisfechas o satisfechos con eso.  Nuestra función solo podríamos decir que es como el retal 0 justo en x=1.  Eso no es mucho.

Pero no os preocupéis que podemos ir emplemando tantos retales como queramos. Podemos escribir el log(x) de la siguiente forma:

log(x)= (0+(x-1)-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+\dfrac{1}{3}(x-1)^3-\dfrac{1}{4}(x-1)^4+\dfrac{1}{5}(x-1)^5+\cdots)

Ahí hemos escrito como se construiría la función logartimo a partir de retales polinómicos.  Supongo que veis clara la estructura y que podreis extender a más retales la expresión de log(x).

Veamos todo esto gráficamente:

03
La línea amarilla es el retal 0.  La línea verde es la suma de 0+(x-1). Podemos ver como se va pegando más a la curva roja que es la que nos interesa.

04

05
En estas dos imágnes tenemos la línea naranja que llega hasta el factor (x-1)^2 para ajustar a log(x) y la línea azul que llega hasta el factor (x-1)^3.

Si metemos 39 términos de retales polinómicos obtenemos la siguiente imagen:

06

Las curva hecha con retales prácticamente es igual a la curva original de log(x).

Bueno, todo esto no es magia ni me lo acabo de inventar.  Esto es gracias a que podemos hacer desarrollos en serie de Taylor. Esto es una maravilla matemática que nos permite expresar funciones complicadas en términos de polinomios.  Ciertamente hay muchas sutilidades de las que no hemos hablado aquí de eso de las series de Taylor pero tampoco es el objetivo.  Busquen y hallen información y la gozarán.

Por cierto,  este era el amigo Broke Taylor:

BTaylor

Y para acabar una animación de lo que hemos explicado que siempre gusta meter un gif en estas cosas para desengrasar de tanta chapa.

Taylor_approximation_of_natural_logarithm
Aproximaciones a log(x)

Ah, se me olvidaba… lo del sastre de logaritmo es un juego de palabras con Taylor y tailor. Nada solo era eso.

Para los muy cafeteros:  Las gráficas están hechas multiplicando el desarrollo de arriba por 1/ln10.  

Unidades

Entiendo como te sientes, has entrado a un blog de química y te estás comiendo una entrada de matemáticas.  ¿Qué puedo decir?  Que mola mucho, ¿no?  Pero bueno, dejemos atrás los logaritmos por un momento y hablemos de algo fundamental en ciencia. Cada cosa que midamos tiene que tener sus unidades.  Si medimos volúmenes tendremos que decir si estamos midiendo en litros que en centímetros cúbicos o en pies cúbicos.  Si medimos fuerzas tendremos que dejar claro que estamos midiendo en Newtons o en kilopondios o en kilogramofuerza.

Es que tu imagina que decimos el coche iba a 4500.  ¿Qué información nos da eso acerca del valor de la velocidad?  Pues absolutamente nada porque no es lo mismo que sean kilometros por hora que milimetros por segundo que pies por pulgadas.  Así que hemos de ser exquisitos a la hora de expresar nuestras cosas científicas, ya sabéis, número y unidades… SIEMPRE.

Pero ya en el instituto me decían que los argumentos de las funciones no pueden tener unidades. Y para mí eso era un puro arcano mágico una regla que no podías romper a costa de que los dioses de la matemática vinieran y te torturaran en el Erebo anumérico.

giphy.gif

¿Por qué no pueden tener unidades los argumentos de las funciones?  Por ejemplo, por qué no puede tener unidades la x de log(x).8552.gif

La respuesta es muy simple, peras con peras y manzanas con manzanas.  Eso quiere decir, en este contexto, que si tenemos una fórmula científica. Todos los términos de la fórmula tienen que tener las mismas unidades o si no no tendría sentido.

Por ejemplo,   en x =x_0+ vt, todos los términos tienen las mismas unidades.  Si medimos x y x_0 en metros, la velocidad ha de ir medida en metros/segundo y el tiempo en segundos.

Ahora supongamos que la x de nuestro logaritmo tiene unidades.  Da igual la unidad, elije una, metros por ejemplo.   En principio nada te dice que no tenga sentido hablar del logartimo de x metros.  Sin embargo… miremos de nuevo a los retales con los que podemos construir el log(x).

log(x)= (0+(x-1)-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+\dfrac{1}{3}(x-1)^3-\dfrac{1}{4}(x-1)^4+\dfrac{1}{5}(x-1)^5+\cdots)

El primer término podrían ser 0 metros, ok, vale.

El segundo término $(x-1)$  pues estaría en metros porque la x estamos pensando que está en metros.

El problema empieza en el siguiente término.  En $(x-1)^2$ tenemos seguro una potencia de x^2 y eso amigos iría medido en metros al cuadrado m^2 que no es la misma unidad que metros a secas. Uuups!!  Pero es que en cada término la cosa empeora.  Cada término introduciría potencias superiores de la unidad empleada y por lo tanto, como no podemos sumar cosas de distintas unidades lo único que podemos exigir es que en los argumentos de las funciones como nuestro logaritmo no podemos poner cosas con unidades. Fin de la historia.

Esto vale para senos, cosenos, exponenciales, etc… Busquen los desarrollos en serie de Taylor de esas funciones y el argumento es el mismo.

El pH

Aquí unas cuantas definiciones de pH que se dan en el instituto:

1.- CONCEPTO DE pH

El pH o índice de hidrógeno se define como el logaritmo del inverso de la concentración de iones oxonio contenidos en una disolución.

(https://www.alonsoformula.com/inorganica/_private/Quimica2bach06cast.pdf)

2.- Concepto de pH
Se define el pH=- log [H O3_+]

(https://www.mhe.es/bachillerato/fisica_quimica/844816962X/archivos/media/esp/unidad_6/ESQUEMA-RESUMEN_UNIDAD_6.pdf)

Y así en cualquier libro de bachillerato.  Claro, pero es que eso tiene un problema.  Si el pH se define como el logaritmo de una concentración de algo, en realidad es concentración de protones en la disolución en la que estemos midiendo el pH, esa concentración lleva unidades.  Las concentraciones se dan en moles por litro, o en gramos por litro, está la molaridad, la molalidad, la normalidad… En fin, que eso tiene unidades.

Y eso me llevaba por la calle de la amargura… ¿Cómo es posible esto? ¿Qué ha pachao?

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El secreto del pH

Me llevó años, literalmente, saber qué demonios estaba pasando ahí. Cómo puede ser posible que un concepto tan importante como el pH estuviese mal definido desde cualquier punto de vista lógico/matemático.  Yo pensaba en mis años mozos que había descubierto una brecha que haría desmoronarse la química al completo.  Pero luego, como podréis suponer, no fue para tanto.  Todo tiene una razón de ser.

Resulta que la definción de pH no es la que se ha indicado arriba sino que tal y como podemos encontrar en wiki:

Este término fue acuñado por el bioquímico danés S. P. L. Sørensen (1868-1939), quien lo definió en 1909 como el opuesto del logaritmo de base 10 o el logaritmo negativo de la actividad de los iones hidrógeno. Esto es:

Esta expresión es útil para disoluciones que no tienen comportamientos ideales, disoluciones no diluidas. En vez de utilizar la concentración de iones hidrógeno, se emplea la actividad , que representa la concentración efectiva.

¿Qué es eso de la actividad?  A muy grandes rasgos, la actividad es una cantidad que representa la desviación de la idealidad del comportamiento de concentraciones de alguna especie química en disolución.  En nuestro caso estamos interesados en el comportamiento de los protones H^+.    Esa desviación del comportamiento ideal, en cuanto a concentraciones, presiones, etc, se caracteriza por lo que se conoce como factor de actividad \gamma que es simplemente un número.  Y la actividad a_{H^+} se define como:

a_{H^+}=\gamma\dfrac{[H^+]}{[H^+_0]}

Oh my God!!!   Resulta que la actividad es un número sin unidades \gamma que multiplica a el cociente entre la concentración de protones en la disolución entre una concentración que se toma de de referencia.  Pero es que en un cociente de cosas de igual unidad el resultado no tiene, ojo NO TIENE UNIDADES.

Así, si tenemos que vamos a medir la concentración en moles/litro,  podemos elegir nuestra concentración de referencia como 1mol/litro.  Por tanto el único efecto que tiene es eliminar las unidades del numerador 😉

Pero aún hay más, resulta que en las condiciones experimentales usuales (con muchos matices) el \gamma asociado a la concentración de protones es básicamente 1.  Por lo tanto…

log(a_{H^+}=-log[H^+]  con la salvedad de que en el logaritmo esa concentración no va con unidades porque en realidad va dividida por la concentración de referencia que usualmente se toma como 1 en las unidades en las que trabajemos.

Y así, amigas y amigos míos, es como me he reconciliado con el concepto de pH.  Y bueno, es una entrada larga y dura… pero gustosita. ¡GOSAAADERA!

980.gif

 

Nos seguimos leyendo…

1 comentario en “El pH y yo

  1. A mi lo que me mató fue descubrir que el pH no tiene porque tener un valor entre 0 y 14, como me decían en el instituto, sino que puede tener valores negativos o valores superiores a 14.

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